La paradoja de Russell y la paradoja del barbero

La paradoja de Russell

La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barberoque se puede enunciar de la siguiente manera:

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias: —En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí! El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.1

Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras simples, una paradoja es lo opuesto a lo que uno considera cierto.

Hay muchos tipos de paradojas, clasificadas según varios aspectos, pero no me voy a extender en este tema ya que no es el objetivo del post (aquí podéis ver información sobre esas clasificaciones).

Lo que nos ocupa es una Antinomia. Es una de las paradojas más famosas de la historia de las Matemáticas , ya que durante un tiempo hizo temblar a lateoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor, y es conocida como La Paradoja de Russell en honor a su creador: Bertrand Russell.

Vamos a explicar un poco de qué va este tema:

Consideremos el conjunto cuyos elementos son todas las sillas del mundo. Evidentemente el propio conjunto no es una silla y por tanto se tiene que el conjunto en sí no es un elemento de sí mismo. Los conjuntos que cumplan esa condición (que no sean elementos del propio conjunto) se denominan conjuntos normales.

Y diréis: no parece que hay conjuntos que se contengan a sí mismos como elemento. Pues sí se pueden definir. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de todos los objetos matemáticos se tiene que el propio conjunto es un objeto matemático, y por tanto es elemento de sí mismo. O el conjunto de todas las cosas que no son sillas. Se ve claramente que el conjunto no es una silla, y por tanto es un elemento de sí mismo. A estos conjuntos (los que se contienen a sí mismos como elementos) los llamaremos conjuntos singulares. Y, evidentemente, estas definiciones son exhaustivas y excluyentes: todo conjunto que podamos formar es normal o singular, y además sólo puede ser de uno de los dos tipos.

Bueno, dicho esto vamos al meollo del asunto: consideremos ahora el conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos normales que se pueden formar. Llamemos a ese conjunto M (por llamarlo de alguna forma). Ahora, si M es normal estará en M, por ser M el conjunto de todos los conjuntos normales. Pero a la vez, por ser M normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento (según la definición de conjunto normal), y por tanto M no pertenece a M. Uhmmm…qué extraño, ¿no?.

Supongamos ahora la otra opción posible: si M es singular entonces M no pertenece a M. Pero en este caso M no es un elemento de sí mismo, es decir, cumple al definición de conjunto normal, y por tanto M es normal, es decir, M pertenece a M.

Dios, ¡¡qué locura!!. Si M pertenece a M podemos demostrar que M no pertenece a M, y viceversa. He aquí la paradoja.

En esta web podéis encontrar otro ejemplo usando obras de artes que puede ayudar a entender algo mejor el tema.

Bueno, y ahora surge un problema bastante más importante de lo que uno puede creer: teniendo en cuenta que todas las Matemáticas se basan en la teoría de conjuntos y podemos encontrar en ella una paradoja de estas dimensiones…¿cómo se sostiene todo?. Pues sencillo. Bueno, sencillo no, pero se sostiene. Los lógicos llegaron a la conclusión que para la teoría de conjuntos en la que están basadas las Matemáticas los conjuntos singulares simplemente no pueden existir. Más tarde llegaron los axiomas de Zermelo-Fraenkel y consiguieron asentar definitivamente el tema (bueno, igual no tandefinitivamente, ya que el axioma de elección ha dado y sigue dando mucho que hablar, pero bueno, ese es otro tema). Vamos, que por ahora podemos estar tranquilos, las cosas siguen funcionando.

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Elaborado por Oscar Perez

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